A.ご回答内容

個人の市県民税を納める人（納税義務者）は、次のとおりです。
1.市内に住所がある人
2.市内に住所はないが、事務所や事業所又は家屋敷がある人　
※市内に住所や事務所などがあるかどうかについては、その年の１月１日（賦課期日）現在の状況で判断されます。
あなた様の場合、当年1月1日現在にはＡ市に住所がありましたので、当年度分の市県民税は、高知市ではなくＡ市において課税されることになります。
したがって、Ａ市の納税通知書でＡ市へ納めてください。